Sistem persamaan linear dan kuadrat

Sistem Persamaan Linear Kuadrat SPLK 

Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear dan kuadrat materi matematika kelas 10 SMA.

Persamaan linier dua variabel x dan y digabungkan dengan persamaan yang mengandung x² atau y² SPLK dan SPLDV.

Soal No. 1
Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut:

(i) y = 2x + 3

(ii) y = x² − 4x + 8

Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas!

Pembahasan
Substitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar.
x² − 4x + 8 = 2x + 3
x² − 4x + 8 − 2x − 3 = 0
x² − 6x + 5 = 0

Berikutnya faktorkan:
x² − 6x + 5 = 0
(x − 1)(x − 5) = 0

Dapatkan nilai x yang pertama:
x − 1 = 0
x = 1

Dapatkan nilai x yang kedua:
x − 5 = 0
x = 5

Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i):
Untuk x = 1 maka
y = 2x + 3
y = 2(1) + 3
y = 2 + 3
y = 5

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)

Untuk x = 5 maka
y = 2x + 3
y = 2(5) + 3
y = 10 + 3
y = 13

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)

Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}

Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, bisa dibaca lagi.

Soal No. 2
Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:
(i) y = 5x + 4
(ii) y = x² + 13x − 16

Pembahasan
x² + 13x − 16 = 5x + 4
x² + 13x − 16 − 5x − 4 = 0
x² + 8x − 20 = 0
(x + 10)(x − 2) = 0

Nilai x yang pertama
x + 10 = 0
x = − 10

Nilai x yang kedua
x − 2 = 0
x = 2

Nilai-nilai y, dari persamaan pertama:
Untuk x = − 10 didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(−10) + 4 = − 46

Untuk x = 2, didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(2) + 4 = 14

Hp : {(− 10, − 46), (2, 14)}

Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung bentuk implisit yang dapat difaktorkan? Seperti contoh berikutnya.

Soal No. 3
Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:
(i) x − y = 5
(ii) x² − 6yx + 9y² − 9 = 0

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas!

Pembahasan
(i) x − y = 5
(ii) x² − 6yx + 9y² − 9 = 0

Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya, ada beberapa cara untuk memfaktorkan bentuk "kuadrat dalam kuadrat" seperti bentuk di atas, salah satunya sebagai berikut:

Ingat kembali bentuk ax² + bc + c = 0 . Jika diterapkan pada persamaan (ii) maka didapat nilai a, b dan c sebagai berikut:
x² − 6yx + 9y² − 9 = 0
a = 1
b = − 6y
c = 9y² − 9



Sehingga:
x² − 6yx + 9y² − 9 = 0
(x − 3y − 3)(x − 3y + 3) = 0

Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu:
x − 3y − 3 = 0 .....(iii)
x − 3y + 3 = 0 .....(iv)

Dari persamaan (ii) dan (iii)
x − y = 5
x − 3y = 3
_________   _
2y = 2
y = 1

x − y = 5
x − 1 = 5
x = 6

Dari persamaan (ii) dan (iv)
x − y = 5
x − 3y = − 3
___________   _
2y = 8
y = 4

x − y = 5
x − 4 = 5
x = 9

Sehingga penyelesaiannya adalah {(6, 1), (9, 4)}